2.1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Mit Hilfe der Divergenzform (2.3) können wir zunächst für den Spezialfall \(c(x)\equiv 0\) die sogenannte Greensche Funktion zur analytischen Lösung der Differentialgleichung konstruieren. Es gilt nämlich in diesem Fall mit einer Integrationskonstante \(c_1 \in \R\)

\[a(x) \cdot u'(x) \ = \ c_1 - \int_0^x f(z) \, \mathrm{d}z.\]

Da \(a(x) = e^{P(x)} > 0\) für alle \(x \in \R\) ist, gilt damit auch für eine weitere Integrationskonstante \(c_2 \in \R\)

\[u(x) \ = \ c_2 + c_1 \cdot \int_0^x \frac{1}{a(y)} \, \mathrm{d}y - \int_0^x \frac{1}{a(y)} \int_0^y f(z) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y.\]

Definieren wir nun zwei Stammfunktionen

\[A(x) \ \coloneqq \ \int_0^x \frac{1}{a(y)} \, \mathrm{d}y, \qquad F(y) \ \coloneqq \ \int_0^y f(z) \, \mathrm{d}z\]

so erhalten wir durch partielle Integration

(2.4)\[\begin{split}\begin{split} u(x) \ &= \ c_2 + c_1 \cdot A(x) - \int_0^x \frac{1}{a(y)} \int_0^y f(z) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \\ &= \ c_2 + c_1 \cdot A(x) - \int_0^x \frac{1}{a(y)} \cdot F(y) \, \mathrm{d}y \\ &= \ c_2 + c_1 \cdot A(x) - \bigl[A(y) \cdot F(y)\bigr]^x_0 + \int^x_0 A(y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ c_2 + c_1 \cdot A(x) - \int^x_0 A(x) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y + \int^x_0 A(y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ c_2 + c_1 \cdot A(x) - \int_0^x (A(x) - A(y)) \cdot f(y)\, \mathrm{d}y. \end{split}\end{split}\]

Die unbekannten Integrationskonstanten \(c_1, c_2 \in \R\) können wir aus den Randbedingungen bestimmen, die uns ein Gleichungssystem liefern, welches es zu lösen gilt. Hierzu betrachten wir im Folgenden die reinen Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen und vernachlässigen die gemischten Randbedingungen.

2.1.1. Dirichlet-Randbedingungen

Im Fall von Dirichlet-Randbedingungen haben wir \(\alpha_i=0\) und \(\beta_i=1\) für \(i=0,1\) in (2.2) und somit haben wir die Randwerte

\[u(0) \ = \ g_0 \in \R, \qquad u(1) \: = \: g_1 \in \R.\]

Dann ist das Gleichungssystem zur Bestimmung der unbestimmten Integrationskonstanten \(c_1, c_2 \in \R\) durch Einsetzen in (2.4) gegeben durch

\[u(0) \: = \: c_2 \: = \: g_0, \qquad u(1) \ = \, \underbrace{c_2}_{= \: g_0} + \: c_1 \cdot A(1) - \int_0^1 (A(1) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y \ = \ g_1.\]

Lösen wir die zweite Randbedingung auf zur Konstanten \(c_1 \in \R\) so erhalten wir:

\[c_1 \ = \ \frac{1}{A(1)} \cdot \left( g_1 - g_0 + \int_0^1 (A(1) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y \right).\]

Hieraus können wir für die Lösung der Differentialgleichung in (2.4) folgern:

(2.5)\[\begin{split}\begin{split} u(x) \ &= \ g_0 + \frac{A(x)}{A(1)} \cdot \left( g_1 - g_0 + \int_0^1 (A(1) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\right) - \int_0^x (A(x) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ \left( 1- \frac{A(x)}{A(1)} \right) \cdot g_0 + \frac{A(x)}{A(1)} \cdot g_1 \\ & \hspace{1.13cm} + \frac{A(x)}{A(1)} \cdot \int_0^1 (A(1) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y - \int_0^x (A(x) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y. \end{split}\end{split}\]

Wir wollen nun die sogenannte Greensche Funktion \(G \colon [0,1]^2 \rightarrow \R\) einführen mit

\[\begin{split}G(x,y) \ \coloneqq \ \left\{ \begin{array}{ll} A(x) \cdot ( 1- \frac{A(y)}{A(1)}) \quad & \text{falls} \ 0 \leq x \leq y \leq 1, \\ A(y) \cdot ( 1- \frac{A(x)}{A(1)}) \quad & \text{falls} \ 0 \leq y < x \leq 1. \end{array}\right.\end{split}\]

Für jede Funktion \(a(x) > 0\) gilt für die Stammfunktion \(A(x) > A(y) \geq 0\) für \(x > y\) und somit ist die Greensche Funktion nichtnegativ auf dem Intervall \([0,1]\).

Nun können wir die beiden Integrale in (2.5) geschickt vereinheitlichen durch

\[\begin{split}\begin{split} &\hphantom{=} \ \frac{A(x)}{A(1)} \cdot \int_0^1 (A(1) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y - \int_0^x (A(x) - A(y)) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ \int_0^1 A(x) \cdot \left( 1- \frac{A(y)}{A(1)} \right) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &\hspace{1cm} - \int_0^x \left(A(x) - \frac{A(x)A(y)}{A(1)} - A(y) + \frac{A(y)A(x)}{A(1)} \right) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ \int_0^1 A(x) \cdot \left( 1- \frac{A(y)}{A(1)} \right) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y - \int_0^x A(x) \cdot \left(1 - \frac{A(y)}{A(1)} \right) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y \\ &\hspace{1cm} + \int_0^x A(y) \cdot \left( 1 - \frac{A(x)}{A(1)} \right) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ \int_0^x A(y) \cdot (1 - \frac{A(x)}{A(1)}) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y + \int_x^1 A(x) \cdot (1-\frac{A(y)}{A(1)}) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y\\ &= \ \int_0^x G(x,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y + \int_x^1 G(x,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y \ = \ \int_0^1 G(x,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y. \end{split}\end{split}\]

Wir sehen also, dass wir mit Hilfe der Greenschen Funktion \(G\) die analytische Lösung \(u\) in (2.5) des Randwertproblems mit Dirichlet-Bedingungen und \(c(x) \equiv 0\) kompakt schreiben können als:

(2.6)\[u(x) \ = \ \left( 1- \frac{A(x)}{A(1)} \right) \cdot g_0 + \frac{A(x)}{A(1)} \cdot g_1 + \int_0^1 G(x,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y.\]

Aus dieser Darstellung der analytischen Lösung können wir sofort folgendes Resultat ableiten.

Satz 2.1 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für c \equiv 0)

Sei \(c(x) \equiv 0\) und \(a \in C^1([0,1])\) mit \(a(x) \geq a_0 > 0\) für alle \(x \in [0,1]\). Sei außerdem \(f \in C([0,1])\).

Dann existiert eine eindeutige Lösung \(u \in C^2([0,1])\) der Differentialgleichung (2.3) unter den Dirichlet-Randwertbedingungen (2.2) mit \(\alpha_i=0\) und \(\beta_i = 1\) für \(i=0,1\). Ist \(f(x) \geq 0\) für alle \(x \in [0,1]\), so gilt darüber hinaus folgendes Maximumsprinzip:

\[u(x) \ \geq \ \min\{g_0,g_1\} \qquad \forall x \in [0,1].\]

2.1.1.1. Allgemeiner Fall

Wir sehen, dass der lineare Operator

\[\begin{split}\begin{split} K \colon C([0,1]) \ &\rightarrow \ C([0,1]),\\ f \ &\mapsto \ \int_0^1 G(\cdot,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}y \end{split}\end{split}\]

offensichtlich auf dem Raum der stetigen Funktionen \(C([0,1])\) wohldefiniert und beschränkt (äquivalent zu stetig) ist. Mit Hilfe dieser Einsicht können wir auch den allgemeinen Fall \(c(x) \not \equiv 0\) behandeln, da in diesem Fall die Lösung \(u\) ein Fixpunkt der folgenden Gleichung ist:

(2.7)\[u(x) \ =\ g_0 \cdot w(x) + g_1 \cdot (1-w(x)) + K (f-c\cdot u)(x),\]

wobei wir die Notation \(w(x) \coloneqq 1- \frac{A(x)}{A(1)}\) verwendet haben.

Um die Charakterisierung der Lösung \(u(x)\) in Abhängigkeit der Funktion \(c(x)\) besser zu verstehen, betrachten wir erst den Spezialfall einer konstanten Funktion \(c(x) \equiv c \in \R\). Da der Operator \(K\) linear ist müssen wir die folgende Gleichung lösen:

\[(I+c \cdot K)(u)(x) \ = \ g_0 \cdot w(x) + g_1 \cdot (1-w(x)) + K(f)(x).\]

Bei einer genaueren Analyse lässt sich nun feststellen, dass für die spezielle Wahl der Konstanten \(c = -k^2 \pi^2, k \in \N\) eine nichttriviale Lösung \(u(x) = \sin(k \pi \cdot x)\) des homogenen Systems, d.h. für die Gleichung \((I - (k \pi)^2 \cdot K)(u)(x) = 0\) existiert. In diesem Fall ist der Operator \(I+c\cdot K\) nicht invertierbar, da dessen Kern nicht nur die Nullfunktion enthält. Also können wir in diesen Fällen die inhomogene Gleichung nicht für beliebige rechten Seiten lösen.

Mit Hilfe der Spektraltheorie kompakter Operatoren lässt sich jedoch zeigen, dass es nur abzählbar viele Werte von \(c\) gibt, für die \(I+c \cdot K\) nicht invertierbar ist. Mit dem Satz von Arzela-Ascoli kann man zunächst zeigen, dass \(K: C([0,1]) \rightarrow C([0,1])\) kompakt ist, d.h. für jede beschränkte Folge \((u_n)_{n\in\N} \subset C([0,1])\) hat \(K (u_n)\) eine konvergente Teilfolge. Die Spektraltheorie kompakter Operatoren garantiert nun, dass es nur eine abzählbare Menge von Eigenwerten \((\lambda_k)_{k\in\N}\) geben kann, so dass der Operator \(\lambda_k \cdot I - K\) nicht invertierbar ist. Es lässt sich zeigen, dass in der Menge der Eigenwerte Null der einzige Häufungspunkt ist. Setzen wir in diesem Zusammenhang die Konstante \(c \coloneqq - \frac{1}{\lambda_k}\) für \(k \in \N\), so sehen wir, dass es auch nur eine abzählbare Menge von Konstanten \(c\) geben kann, für die der Operator \(I+c \cdot K\) nicht invertierbar ist. Diese Menge besitzt entsprechend die (uneigentlichen) Häufungspunkte \(\pm \infty\).

Wenn wir nun eine allgemeine Funktion \(c(x)\) betrachten, dann können wir immer noch zeigen, dass der Operator \(u \mapsto u + K (c\cdot u)\) kompakt ist. Daraus können wir wieder folgern, dass der Operator genau dann invertierbar ist, wenn sein Nullraum trivial ist. Bevor wir uns hierfür eine hinreichende Bedingung erschließen, wollen wir zunächst im folgenden Lemma eine nützliche Eigenschaft des Integraloperators \(K\) nachweisen.

Lemma 2.1 (Eigenschaften des Integraloperators)

Für alle stetigen Funktionen \(f \in C([0,1])\) gilt die folgende Abschätzung

\[\int_0^1 f(x) \cdot K(f)(x) \, \mathrm{d}x \ = \ \int_0^1 \int_0^1 f(x) \cdot G(x,y) \cdot f(y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \ \geq \ 0.\]

Das Integral wird genau dann Null, wenn \(f(x) \equiv 0\) gilt.

Proof. Um die Eigenschaften des Integraloperators zu zeigen, wählen wir ein möglichst einfaches Randwertproblem der Form

\[-(a(x) \cdot u'(x))' \ = \ f(x),\]

mit den Dirichlet-Randbedingungen \(u(0) = u(1) = 0\). Wir können also die analytische Lösung \(u\) des Randwertproblems entsprechend (2.7) für \(g_0 = g_1 = 0\) und \(c \equiv 0\) für \(x \in [0,1]\) schreiben als

\[u(x) \ = \ K(f)(x).\]

Somit können wir mit Hilfe von partieller Integration folgern, dass gilt:

\[\begin{split}\begin{split} \int_0^1 f(x) \cdot K(f)(x) \, \mathrm{d}x \ &= \ - \int_0^1 (a(x)\cdot u'(x))' \cdot u(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \ - \underbrace{\bigl[ a(x) \cdot u'(x) \cdot u(x) \bigr]^1_0}_{= \: 0} \: + \ \int_0^1 a(x) \cdot u'(x) \cdot u'(x) \, \mathrm{d}x\\ &= \ \int_0^1 a(x) \cdot (u'(x))^2 \, \mathrm{d}x \ \geq \ 0. \end{split}\end{split}\]

Die Nichtnegativität des letzten Integrals folgt aus dem quadratischen Term \((u'(x))^2\) und der Eigenschaft, dass \(a(x) = e^{P(x)} > 0\) für alle \(x \in [0,1]\) gilt. Damit folgt sofort, dass das Integral genau dann Null wird, wenn \(u'(x) \equiv 0\) gilt. Aus \(-(a(x) \cdot u'(x))' = f(x)\) folgt dann aber auch schon, dass \(f(x) \equiv 0\) gelten muss. ◻

Aus dem obigen Spezialfall mit konstanter Funktion \(c(x) \equiv c\) sehen wir, dass ein nichttrivialer Nullraum bei negativem \(c\) auftreten kann. Diese Beobachtung lässt sich nun mit Hilfe der Eigenschaft des Integraloperators aus Lemma 2.1 auf den allgemeinen Fall von \(c(x) \not \equiv 0\) übertragen, so dass wir im folgenden ein allgemeines Resultat zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Randwertproblems erhalten.

Satz 2.2 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für c \geq 0)

Sei \(a \in C^1([0,1])\) eine stetig differenzierbare Funktion mit \(a(x) \geq a_0 > 0\) für alle \(x \in [0,1]\). Seien außerdem \(c, f \in C([0,1])\) stetige Funktionen und es gelte \(c(x) \geq 0\) für alle \(x\in [0,1]\).

Dann existiert eine eindeutige Lösung \(u \in C^2([0,1])\) des Randwertproblems (2.3) mit Dirichlet-Randbedingungen (2.2) mit \(\alpha_i = 0\) und \(\beta_i = 1\) für \(i=0,1\).

Proof. Basierend auf den oben genannten Argumenten aus der Funktionalanalysis genügt es zu zeigen, dass der lineare Operator \(u\mapsto u+ K(c \cdot u)\) invertierbar ist, was äquivalent dazu ist, dass er injektiv ist und somit sein Kern nur die Nullfunktion \(u(x) \equiv 0\) enthält.

Sei also \(u(x) + K(c \cdot u)(x) = 0\), dann gilt ebenfalls nach Multiplikation beider Seiten mit \(c(x) \cdot u(x)\):

\[c(x) \cdot u^2(x) \ = \ -c(x) \cdot u(x) \cdot K(c \cdot u)(x).\]

Integrieren wir beide Seiten der Gleichung und wenden nun Lemma 2.1 für die speziell gewählte stetige Funktion \(f(x) \coloneqq c(x) \cdot u(x) \in C([0,1])\) an, so können wir abschätzen:

\[\int_0^1 c(x) \cdot u^2(x) \, \mathrm{d}x \ = \ - \int_0^1 c(x) \cdot u(x) \cdot K(c\cdot u)(x) \, \mathrm{d}x \ \leq \ 0.\]

Da auf der linken Seite ein nichtnegativer Integrand steht muss hier schon die Gleichheit mit Null vorliegen. Ebenfalls mit Lemma 2.1 wissen wir, dass das Integral genau dann Null wird, wenn \(f(x) = c(x)\cdot u(x) \equiv 0\) ist. Wenn jedoch \(c(x) \cdot u(x) \equiv 0\), so folgt aus der Linearität von \(K\), dass \(K(c \cdot u)(x) \equiv 0\) gelten muss. Da wir \(u(x) + K(c \cdot u)(x) = 0\) angenommen haben, muss damit auch \(u(x) \equiv 0\) gelten. Also ist der Nullraum des Operators trivial, woraus die Invertierbarkeit und damit auch die eindeutige Lösbarkeit des Randwertproblems folgt. ◻

Interessanterweise können wir auch im allgemeinen Fall ein ähnliches Maximumsprinzip zeigen, auch wenn wir nun keine explizite Darstellung der Lösung als Integral mehr vorliegen haben.

Korollar 2.1 (Maximumsprinzip)

Sei \(a \in C^1([0,1])\) eine stetig differenzierbare Funktion mit \(a(x) \geq a_0 > 0\) für alle \(x \in [0,1]\). Seien außerdem \(c, f \in C([0,1])\) nichtnegative, stetige Funktionen, d.h. es gelte \(c(x) \geq 0\) und \(f(x) \geq 0\) für alle \(x\in [0,1]\).

Dann gilt für die eindeutige Lösung \(u \in C^2([0,1])\) des Randwertproblems (2.3) mit beliebigen Dirichlet-Randbedingungen \(u(0) = g_0 \in \R\) und \(u(1) = g_1 \in \R\), die folgende Abschätzung:

\[u(x) \ \geq \ \min \lbrace g_0, g_1 \rbrace \qquad \forall x \in [0,1].\]

Proof. Die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung \(u \in C^2([0,1])\) des Randwertproblems ist durch Satz 2.2 gegeben. Für das zu zeigende Maximumsprinzip führen wir einen einfachen Widerspruchsbeweis.

Seien im Folgenden \(c, f \in C([0,1])\) nichtnegative Funktionen und wir nehmen an, dass die analytische Lösung \(u(x)\) nicht am Rand des Intervalls ihr Minimum annimmt, sondern in einem Punkt \(\overline{x} \in (0,1)\). Dann gilt die notwendige Optimalitätsbedingungen \(u'(\overline{x}) = 0\) in \(\overline{x}\). Setzen wir diese in die Differentialgleichung ein, so folgt für alle \(x \in [0,1]\)

\[0 \ \leq \ f(\overline{x}) \ = \ -(a(\overline{x}) \cdot \underbrace{u'(\overline{x})}_{=\: 0})' + c(\overline{x}) \cdot u(\overline{x}) \ = \ c(\overline{x}) \cdot u(\overline{x}) \ \leq \ c(\overline{x}) \cdot u(x).\]

Wegen der Annahme, dass \(c\) und \(f\) nichtnegative Funktionen sind, folgt damit, dass \(u(x)\) ebenfalls nichtnegativ für alle \(x \in [0,1]\) ist. Da wir jedoch beliebige Randwerte \(u(0) = g_0\) und \(u(1) = g_1\) für das Randwertproblem erlauben, können wir ebenfalls Randwerte betrachten, so dass \(\min \lbrace g_0, g_1 \rbrace < 0\) gilt. Damit erzeugt die gefolgerte Nichtnegativität der Lösung \(u\) einen Widerspruch zu den Randwerten und somit nimmt die analytische Lösung \(u \in C^2([0,1])\) ihr Minimum am Rand an und somit haben wir das Maximumsprinzip gezeigt. ◻

Wegen der Linearität des Problems kann man aus dem Maximumsprinzip in Korollar 2.1 auch Stabilitätsaussagen herleiten. Nehmen wir an \(\tilde u \in C^2([0,1])\) sei eine bekannte Lösung für das Problem

\[-(a(x) \cdot \tilde u'(x))' + c(x) \cdot \tilde u(x) \ = \ \tilde f(x),\]

mit Dirichlet Randwerten \(\tilde u(0) = \tilde{g}_0\) und \(\tilde u(1) = \tilde{g}_1\). Betrachten wir nun eine weitere rechte Seite \(f \in C([0,1])\) der Differentialgleichung mit \(\tilde f(x) \geq f(x)\) für alle \(x\in [0,1]\), so folgt

\[%TODO Auch hier stand eine 0 im Minimum! Man kann u auf die rechte Seite schreiben und nach oben abschätzen \tilde u(x) - u(x) \ \geq \ \min\{\tilde{g}_0 - g_0, \tilde{g}_1 - g_1 \}.\]

und daraus eine Abschätzung für das Maximum von \(u\). Ist \(c > 0\), so können wir etwa sehr einfache konstante Lösungen \(\tilde u = \gamma\) konstruieren, indem wir \(\tilde f = \gamma c\) setzen. Ist \(\gamma\) hinreichend groß, dann ist \(\tilde f > f\) und \(\tilde{g}_i > g_i\) für \(i=0,1\).

Damit erhalten wir \(u(x) \leq \gamma\) für alle \(x\). Umgekehrt können wir die Rollen von \(\tilde u\) und \(u\) auch vertauschen und \(\tilde u = -\gamma\) wählen, damit erhalten wir eine Abschätzung für \(\vert u (x) \vert.\)

2.1.2. Neumann-Randbedingungen

Während allgemeine Randbedingungen sehr ähnlich behandelt werden wie im oben diskutierten Fall von Dirichlet-Randwertbedingungen, gibt es im Fall reiner Neumann-Randbedingungen einen Aspekt, den wir besonders beachten müssen.

Betrachten wir also im Folgenden die Differentialgleichung (2.3) mit Randwerten (2.2) für \(\alpha_i =1\) und \(\beta_i =0\). Zur Vereinfachung nehmen wir wieder an, dass \(c(x) \equiv 0\) gilt. Dann können wir die Differentialgleichung zunächst von links und rechts aufintegrieren zu

\[\begin{split}\begin{split} &- \int_0^x (a(y) \cdot u'(y))' \, \mathrm{d}y \ = \ -a(x) \cdot u'(x) + a(0) \cdot \underbrace{u'(0)}_{=\: g_0} \ = \ \int_0^x f(y) \, \mathrm{d}y\\ \Rightarrow \quad &-a(x) \cdot u'(x) \ = \ - a(0) \cdot g_0 + \int_0^x f(y) \, \mathrm{d}y. \end{split}\end{split}\]

Integrieren wir hingegen mit dem rechten Rand auf so erhalten wir:

\[\begin{split}\begin{split} &- \int_x^1 (a(y) \cdot u'(y))' \, \mathrm{d}y \ = \ - a(1) \cdot \underbrace{u'(1)}_{=\: g_1} + \, a(x) \cdot u'(x)\ = \ \int_x^1 f(y) \, \mathrm{d}y\\ \Rightarrow \quad &-a(x) \cdot u'(x) \: = \: - a(1) \cdot g_1 - \int_x^1 f(y) \, \mathrm{d}y \: = \: - a(1) \cdot g_1 - \int_0^1 f(y) \, \mathrm{d}y + \int_0^x f(y) \, \mathrm{d}y. \end{split}\end{split}\]

Ein direkter Vergleich der beiden Gleichungen zeigt uns, dass die folgende Bedingung erfüllt sein muss

(2.8)\[a(0) \cdot g_0 \ = \ a(1) \cdot g_1 + \int_0^1 f(y) \, \mathrm{d}y\]

Unter dieser Bedingung ist die Differentialgleichung prinzipiell lösbar, jedoch ist eine der Integrationskonstanten dann weiterhin unbestimmt. Dies wird üblicherweise durch eine zusätzliche Normalisierungsbedingung der folgenden Art erreicht

\[\int_0^1 u(x) \, \mathrm{d}x \ = \ 1.\]

Der Grund für diese zusätzliche Bedingung ist im Gegensatz zu den oben diskutierten Dirichlet-Randwertbedingungen, dass der Nullraum des Randwertproblems (2.3) mit \(c(x) \equiv 0\) unter Neumann-Randwertbedingungen nichttrival ist, denn jede konstante Funktion \(u(x) \equiv c \in \R\) löst bereits das homogene Problem

\[-(a(x) \cdot u'(x))' \ = \ 0\]

mit Neumann-Randwerten \(u'(0) = u'(1) = 0\).

Interessanterweise ist die Theorie für den Fall nichtnegativer Funktionen \(c(x) \geq 0\) hier unterschiedlich. Sobald \(c(x) \geq 0\) mit \(c(x) \not \equiv 0\) für alle \(x \in [0,1]\) gilt, hat das Randwertproblem mit Neumann-Randwertbedingungen nur noch einen trivialen Nullraum. Dies lässt sich durch Multiplikation der homogenen Differentialgleichung mit \(u(x)\) und anschließender Integration sehen. Es folgt dann nämlich mit partieller Integration und den Randwertbedingungen \(u'(0) = u'(1) = 0\), dass gilt

\[\begin{split}\begin{split} 0 \ &= \ \int_0^1 (-(a(x) \cdot u'(x))' + c(x) \cdot u(x)) \cdot u(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \ \underbrace{-\bigl[ a(x) \cdot u'(x) \cdot u(x) \bigr]^1_0}_{= \: 0} + \int_0^1 a(x) \cdot u'(x) \cdot u'(x) \, \mathrm{d}x + \int_0^1 c(x) \cdot u^2(x) \, \mathrm{d}x\\ &= \ \int_0^1 a(x) \cdot (u'(x))^2 \, \mathrm{d}x + \int_0^1 c(x) \cdot u^2(x) \, \mathrm{d}x. \end{split}\end{split}\]

Da \(a(x) = e^{P(x)} > 0\) und \(c(x) \geq 0\) angenommen wurde, folgt sofort, dass \(u'(x) \equiv 0\) für \(x\in [0,1]\) gelten muss. Also muss \(u\) eine konstante Funktion sein. Da \(c(x) \not \equiv 0\) angenommen wurde kann

\[\int_0^1 c(x) \cdot u^2(x) \, \mathrm{d}x \ = \ 0\]

für eine konstante Funktion \(u\) nur im Fall \(u(x) \equiv 0\) gelten.

Der Unterschied dieser Fälle und der potentiell nichttriviale Nullraum des Randwertproblems mit Neumann-Randwertbedingungen ist natürlich auch bei der numerischen Lösung zu beachten, welche im nächsten Abschnitt diskutiert wird. Hier wird sich dieser Nullraum in der Nichtinvertierbarkeit einer zugehörigen Matrix niederschlagen.